\chapter{Дополнительные материалы}

\section{Формулы}
Ковариационная матрица (Covariance Matrix)
\begin{equation}
	C=\frac{1}{N-1} X X^T \in \mathbb{R}^{N \times N}
	\label{eq:covar_mat}
\end{equation}

Риманово расстояние (Riemannian Distance)
\begin{equation}
	\delta_R\left(C_1, C_2\right)=\left\|\log \left(C_1^{-1 / 2} C_2 C_1^{-1 / 2}\right)\right\|_F=\left[\sum_{i=1}^N \log ^2 \lambda_i\right]^{1 / 2}
	\label{eq:rieman_dist}
\end{equation}
здесь $\lambda_i$ — это вещественные собственные значения матрицы $(C_1^{-1 / 2} C_2 C_1^{-1 / 2}$, а $\|\cdot\|_F$ обозначает норму Фробениуса

Риманово геометрическое среднее (Riemannian Geometric Mean)
\begin{equation}
	G\left(C_1, \ldots, C_I\right)=\operatorname{argmin}_{C \in \mathcal{C}(n)} \sum_{i=1}^I \delta_R^2(C, C i)
	\label{eq:rieman_gmean}
\end{equation}
\textit{где $C(n)$ — пространство SPD-матриц. Этот метод (RMDM) устойчив к шуму и хорошо обобщает данные.
}

Регрессия для оценки взгляда (Gaze Estimation)
В подразделе о контроле взгляда (который также является частью интерфейсов в статье) используется квадратичная полиномиальная модель:
\begin{equation}
	g=f(e)=v c
\end{equation}
\textit{где $g=(g_x, g_y)$ — координаты взгляда, $c$ — коэффициенты модели, а вектор $v$ включает члены до второго порядка: }
\begin{equation}
	v=\left(1, x, y, x y, x^2, y^2, m, n\right)
\end{equation}
\textit{здесь $(x,y)$ — координаты зрачка, а $(m,n)$ — координаты угла глаза. Для решения этой задачи используется метод наименьших квадратов}